〈解説〉正規分布の再生性
パラメータの異なる正規分布の和
正規分布にしたがう、互いに独立な2つの確率変数\(X,Y\)があるとき、それらの和\( (Z=X+Y) \)もまた正規分布にしたがいます。これを正規分布の再生性といいます。このとき、\(Z\)のパラメータは次のようになります。
- 平均はそれぞれの平均の和、すなわち、\( \mu_z = \mu_x + \mu_y\)
- 分散はそれぞれの分散の和、すなわち、\( \sigma_z^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 \)
パラメータの等しい正規分布の和
パラメータの等しい正規分布にしたがう、互いに独立な確率変数がN個\(X_i \sim N(\mu, \sigma^2), (i=1,2,...N) \)あるとき、それらの平均\( \bar X = \frac 1N \sum_{i=1}^N X_i \)もまた正規分布にしたがいます。新しい確率変数\( \bar X \)のパラメータは次のようになります。
- 平均はもとの確率変数と等しい値、すなわち、\( \mu\)
- 分散はもとの確率変数の分散の\(\frac1N\)、すなわち、\(\sigma^2 / N \)