〈解説〉確率変数を足すということ
確率変数
確率変数とは、ランダムに値が決まる変数のことです。ただし、値の決まり方に確率的な法則があると仮定されています。この法則のことを確率分布といいます。確率分布には、正規分布、カイ二乗分布などがあります。
確率変数を「足す」
確率変数は、どんな値をとるかが定まっていない、常に「ゆらいでいる」ものですから、それを「足す」というのはイメージしにくいでしょう。そこで、乱数を使って、実現値の世界で考えます。確率変数\(X\)の1つの実現値(\(x_1\))と、確率変数\(Y\)の1つの実現値(\(y_1\))を足したもの(\(x_1+y_1=z_1\))を、確率変数\(Z=X+Y\)の実現値と考えます。このようにして実現値を大量に発生させ、\(Z\)がどのような分布になるかを確かめることにします。\(X,Y\)がともに正(負)のとき、\(Z\)は常にそれらより大きい(小さい)値をとります。このことから、\(Z\)の分散が\(X,Y\)の分散より大きくなると予想されます。
また、\(X,Y\)の平均(\(\frac12(x_1+y_1)=z_1\))を\(Z\)の実現値としたとき、\(Z\)はかならず\(X,Y\)の中間の位置にプロットされます。このことから、\(Z\)の分散が\(X,Y\)の分散より小さくなると予想されます。